函数与极限

高数第一章

映射与函数

映射$f$是一个规则，集合$X$的元素作为输入，集合$Y$的元素作为输出，并且$X$的每个元素只对应$Y$中的一个元素
若数集$D \in R$（实数集的子集），则$f:D \to R$称为函数
$D$称为定义域，$f$称为函数法则
普通情况下默认定义域的范围使函数法则有意义，称为自然定义域
在满足函数定义的前提下，定义域的不同范围可以有不同的函数法则，这类函数称为分段函数

函数特性

• 有界性：在定义域的某个子集上，函数的绝对值总小于某个正数
  • 若总小于某个数，称为上界；总大于某个数，称为下界
• 单调性：在定义域的某个区间上，任意两点的大小顺序不变，则对应的函数值大小顺序相同
• 奇偶性：函数定义域关于原点对称
  • 奇函数：$f(-x)=-f(x)$
  • 偶函数：$f(-x)=f(x)$
• 周期性：$f(x+l)=f(x)$，$l$称为周期，一般选择最小正周期

函数特例

• 反函数：若函数$f:D \to f(D)$是单射，即定义域内是单调的函数，则它有逆映射$f^{-1}(D) \to D$，称为该函数的反函数
• 复合函数：$y=f(u),u=g(x),R_g \subset D_f$，则函数$y=f[g(x)],x \in D_g$称为这两个函数构成的复合函数，$u$称为中间变量；也可表示为$(f \circ g)$
  • 可推广至更多中间变量的复合函数

函数的运算

对函数法则的运算，定义为遵守四则运算法则

基本初等函数

• 幂函数：$y=x^{\mu},\mu \in R$
• 指数函数：$y=a^x, a>0 \land a \neq 1$
• 对数函数：$y= \log_a x,a>0 \land a \neq 1$
  • $a=e$时，可表示为$y=\ln x$
• 三角函数，如$\cos x,\tan x$
• 反三角函数（三角函数的反函数），如$\arccos x, \arctan x$

初等函数：常数和上述函数经过有限次的四则运算、函数复合构成的一个函数式。

数列极限

定义数列极限

数列的项数变大，数与某常数（极限值）的距离缩小
当项数足够大时，该距离小于任意值

数列极限的性质

• 数列收敛，则极限唯一
• 数列收敛，则该数列有界
• 保号性：若极限值大于0，那么从某项开始，数列大于0；极限值小于0，则对应结论小于0
  • 若数列从某项起大于0，且极限存在，则极限大于0；条件小于0，则结论也小于0
• 某数列收敛，极限值为a；该数列的任一子数列收敛，极限值也是a

函数极限

定义函数极限

符号表示：$x \to x_0$，自变量接近一个确定的数
$x \to \infty$，自变量的绝对值无穷大

• $\lim_{x \to x_0}f(x)=A$：自变量接近$x_0$，函数值接近$A$；$|x-x_0|$足够小，$|f(x)-A|$小于任意值
• $\lim_{x \to \infty}f(x)=A$：自变量绝对值增大，函数值接近$A$；$|x|$足够大，$|f(x)-A|$小于任意值

函数极限的几何意义：函数图像的水平渐近线

函数极限的性质

与数列极限的性质类似

• 极限存在则唯一
• 局部有界：函数有极限值，自变量满足极限的某个接近范围，则函数值绝对值小于某数
• 局部保号：函数有极限值，该值大于0，则自变量满足极限的某个接近范围时，函数值大于0；极限值小于0，则结论也小于0

通过局部保号性可推得：函数有极限值$A$，那么在自变量的某个接近范围内，$|f(x)|>\frac{|A|}{2}$

• 若在$x_0$的附近某个范围内，$f(x) \geq 0$，且极限值存在，则极限值大于等于0；条件小于等于0，结论也小于等于0
• $\lim_{x \to x_0} f(x)$存在，${x_n}$在定义域内，收敛于$x_0,x_n \neq x_0$，则数列$\left\{f(x_n)\right\}$收敛，该数列的极限值等于函数极限值

无穷小与无穷大

函数极限值为0（或数列极限为0），称为无穷小